Question

4．梯形ABCD中，DC∥AB，DC=2，AB=4，AD=BC=3，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-1．

Answer 1

分析 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，再根据向量的数量积公式计算即可．

解答 解：∵梯形ABCD中，DC∥AB，DC=2，AB=4，AD=BC=3，
过点D，C作DE⊥AE，CF⊥AB，垂足分别为为E，F，
∴AE=BF=1，
∴DE=CF=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∴A（0，0），B（4，0），C（3，2$\sqrt{2}$），D（1，2$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（3，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-3，2$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=3×（-3）+2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查了向量的数量积的运算，关键是建立坐标系，属于基础题．