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定义“正对数”:ln+x=
0,0<x<1
lnx,x≥1
,现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b
③若a>0,b>0,则ln+(
a
b
)≥ln+a-ln+b

④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2
其中正确的命题有(  )
A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④
∵定义“正对数”:ln+x=
0,0<x<1
lnx,x≥1

①当0<a<1,b>0时,0=0b<ab<1b=1,左=右=0;
当a>1,b>0时,ab>1,左端ln+(ab)=lnab=blna=右端,故①真;
②若0<a<1,b>0时,ab∈(0,1),也可能ab∈(1,+∞),举例如下:ln+
1
3
×2)=0≠ln2=ln+
1
3
+ln+2,故②错误;
③若0<a<b<1,0<
a
b
<1,左端=0,右端=0,左端≥右端,成立;
当0<a<1≤b,0<
a
b
<1,ln+b=lnb≥0,左端=0,右端=0-lnb≤0,左端≥右端,成立;
当1≤a<b时,ln+
a
b
)=0,ln+a=lna,ln+b=lnb,左端=0≥lna-lnb=右端,成立;
同理可知,当0<b<a<1,0<b<1≤a,1≤b<a时,总有左端≥右端;
当0<a=b时,左端=右端,不等式也成立;
综上,③真;
④若0<a+b<1,b>0时,左=0,右端≥0,显然成立;
若a+b>1,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2?ln+
a+b
2
≤ln+a+ln+b,成立,故④真;
综上所述,正确的命题有①③④.
故选:A.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列说法正确的是(  )
①原命题为真,它的否命题为假
②原命题为真,它的逆命题不一定为真
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.
A.①②B.②③C.③④D.②③④

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知定义在R上的函数f(x)=2x+
1
2x

(1)判断f(x)为奇偶性;
(2)证明f(x)函数在[0,+∞)上单调递增.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下列说法:
①函数f(x)=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间(1,2);
②若关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,则a∈(0,1);
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点;
④函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π
4
]
的最小值是1.
正确的有______.(请将你认为正确的说法的序号都写上)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列结论中正确的是(  )
A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>b
C.若a>b,c<0,则ac<bcD.若
a
b
,则a>b

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若命题“如果p,那么q”为真,则(  )
A.q⇒pB.非p⇒非qC.非q⇒非pD.非q⇒p

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列命题中正确的命题有几个(  )
(1)a1+a4=a2+a3是a1,a2,a3,a4依次构成等差数列的必要非充分条件.
(2)若{an}是等比数列,bk=a2k-1+a2k,k∈N*,则{bk}也是等比数列.
(3)若a,b,c依次成等差数列,则a+b,a+c,b+c也依次成等差数列.
(4)数列{an}所有项均为正数,则数列{bn}(bn=anan+1,n∈N*)构成等比数列的充要条件是{an}构成等比数列.
A.1个B.2个C.3个D.4个

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知下列命题:
①命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1”
②命题p:?x∈R,x2+x+1≠0,则?p:?x∈R,x2+x+1=0.
③若p∨q为真命题,则p,q均为真命题
④“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
其中,真命题的个数有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列说法正确的是 (     )
A.“”是“上为增函数”的充要条件[]
B.命题“使得”的否定是:“
C.“”是“”的必要不充分条件
D.命题p:“”,则p是真命题

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