Question

4．若x-cos²θ=sin²θ-y，且x＞0，y＞0，则（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）的最小值为$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由平方关系可得x+y=1，由基本不等式求出xy的范围，利用基本不等式化简（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）后，利用换元法和函数的单调性求出式子的最小值．

解答 解：由x-cos²θ=sin²θ-y得，x+y=cos²θ+sin²θ=1，
又x＞0，y＞0，则$\sqrt{xy}≤\frac{x+y}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当x=y时取等号，
则0＜xy≤$\frac{1}{4}$，
所以（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）=xy+$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$+$\frac{1}{xy}$≥xy+$\frac{1}{xy}$+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$
=xy+$\frac{1}{xy}$+2，当且仅当x=y时取等号，
设t=xy，则0＜t≤$\frac{1}{4}$，
所以y=t+$\frac{1}{t}$+2在（0，$\frac{1}{4}$]上单调递减，则当t=$\frac{1}{4}$时取到最小值y=$\frac{25}{4}$，
所以（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）的最小值是$\frac{25}{4}$，
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查利用基本不等式、函数的单调性求最值问题，以及换元法的应用，考查化简、变形能力．