Question

17．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线经过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点F₁，且椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个直角三角形，A（-2，0）为椭圆的左顶点．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上位于x轴上方的点，直线PA与y轴交于点M，直线MF₂（F₂为椭圆的右焦点）交抛物线于C，D两点，过F₂作MF₂的垂线，交y轴于点N，直线AN交椭圆于另一点Q，直线NF₂交抛物线于G，H两点．
（ⅰ）求证：$\frac{1}{{|{CD}|}}+\frac{1}{{|{GH}|}}$为定值；
（ⅱ）求△APQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得焦点坐标，且a=2，由a=$\sqrt{2}$c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$p=2，即可求得c及p，则b²=a²-c²=2，即可求得椭圆及抛物线的方程；
（2）（ⅰ）设直线F₂M及直线F₂N的方程分别代入抛物线方程，利用抛物线的焦半径公式，即可求得$\frac{1}{{|{CD}|}}+\frac{1}{{|{GH}|}}$为定值；
（ⅱ）将直线代入椭圆方程，即可求得P点及Q点坐标，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△APQ的面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可得：抛物线y²=2px的准线x=-$\frac{p}{2}$，焦点F（$\frac{p}{2}$，0），则c=$\frac{p}{2}$，又A（-2，0）则a=2，
椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个直角三角形，
则a=$\sqrt{2}$c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$p=2，则c=$\sqrt{2}$，p=2$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=2，
∴抛物线y²=4$\sqrt{2}$x，椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）（ⅰ）证明：设直线AP的方程为y=k（x+2），k＞0，M（0，2k），F₂（$\sqrt{2}$，0），
∴直线F₂M的方程为y=-$\sqrt{2}$k（x-$\sqrt{2}$），直线F₂N的方程y=-$\frac{1}{\sqrt{2}k}$（x-$\sqrt{2}$），N（0，-$\frac{1}{k}$），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}k（x-\sqrt{2}）}\\{{y}^{2}=4\sqrt{2}x}\end{array}\right.$，消去y，整理得：k²x²-2$\sqrt{2}$（k²+1）x+2k²=0，
则x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=2，
∴丨CD丨=x₁+x₂+2$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{丨CD丨}$=$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}+2\sqrt{2}}$=$\frac{{k}^{2}}{4\sqrt{2}{k}^{2}+2\sqrt{2}}$，
同理求得$\frac{1}{丨GH丨}$=$\frac{1}{8\sqrt{2}{k}^{2}+4\sqrt{2}}$，
则$\frac{1}{丨CD丨}$+$\frac{1}{丨GH丨}$=$\frac{{k}^{2}}{4\sqrt{2}{k}^{2}+2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{8\sqrt{2}{k}^{2}+4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
∴$\frac{1}{丨CD丨}$+$\frac{1}{丨GH丨}$为定值；
（ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-4=0，
由A（-2，0），故点P的横坐标为$\frac{2-4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，故P（$\frac{2-4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{2{k}^{2}+1}$），由N（0，-$\frac{1}{k}$），
由直线AN的方程为y=-$\frac{1}{2k}$（x+2），则Q（$\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，-$\frac{4k}{2{k}^{2}+1}$），
由P，Q关于原点对称，即直线PQ过原点O，
则△APQ的面积S=$\frac{1}{2}$丨OA丨•丨y_P-y_Q丨=$\frac{8k}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{8}{2k+\frac{1}{k}}$≤2$\sqrt{2}$，
当且仅当2k=$\frac{1}{k}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取“=”，
△APQ的面积的最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及抛物线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．