Question

16．某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．
表1

停车距离d（米）	（10，20]	（20，30]	（30，40]	（40，50]	（50，60]
频数	26	a	b	8	2

表2

平均每毫升血液酒精含量x毫克	10	30	50	70	90
平均停车距离y米	30	50	60	70	90

已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．
（Ⅰ）求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
（附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线$\hat y=\hat bx+\hat a$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据中位数定义得$\frac{6}{10}a=50-26$，解得a，a+b+36=100，解得b．
（Ⅱ）根据$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$．求出a，b即可．
（Ⅲ）令$\hat y＞81$，得0.7x+25＞81，解得x＞80．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得$\frac{6}{10}a=50-26$，解得a=40，（1分）
又a+b+36=100，解得b=24；（2分）
故停车距离的平均数为$15×\frac{26}{100}+25×\frac{40}{100}+35×\frac{24}{100}+45×\frac{8}{100}+55×\frac{2}{100}=27$．（4分）
（Ⅱ）依题意，可知$\overline{x}=50，\overline{y}=60$，（5分）
$\hat b=\frac{10×30+30×50+50×60+70×70+90×90-5×50×60}{{{{10}^2}+{{30}^2}+{{50}^2}+{{70}^2}+{{90}^2}-5×{{50}^2}}}$=$\frac{7}{10}$，
$\hat a=60-\frac{7}{10}×50=25$，
所以回归直线为$\hat y=0.7x+25$．（8分）
（Ⅲ）由（I）知当y＞81时认定驾驶员是“醉驾”．（9分）
令$\hat y＞81$，得0.7x+25＞81，解得x＞80，（11分）
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．（12分）

点评 本小题主要考查统计、回归方程等基础知识；考查了数据处理能力、运算求解能力、属于中档题．