Question

11．已知：四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，且AB∥CD，△DAB=90°，DC=2AD=2AB，侧面PAD与底面垂直，PA=PD，点M为侧棱PC上一点D．
（1）若PA=AD，求PB与平面PAD的所成角大小；
（2）问$\frac{PA}{AD}$多大时，AM⊥平面PDB可能成立．

Answer 1

分析 （1）以AD中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，利用向量法能求出PB与平面PAD的所成角大小．
（2）设P（0，0，t），求出$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{3}{2}$，2，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-t），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-t），由AM⊥平面PDB，得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PD}=0，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PB}=0$，由此能示出AM⊥平面平面PDB不可能成立．

解答 解：（1）以AD中点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
平面PAD的法向量就是$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
设PB与平面PAD的所成角为θ，
由sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{4}$，
∴PB与平面PAD的所成角大小为$\frac{π}{4}$．
（2）设P（0，0，t），则D（-1，0，0），B（1，2，0），A（1，0，0），C（-1，4，0），M（-$\frac{1}{2}$，2，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{3}{2}$，2，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-t），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-t），
∵AM⊥平面PDB，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PD}=0，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PB}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}-\frac{{t}^{2}}{2}=0}\\{-\frac{3}{2}+4-\frac{{t}^{2}}{2}=0}\end{array}\right.$，无解，
∴AM⊥平面平面PDB不可能成立．

点评 本题考查线面角的大小的求法，考查线面能否垂直的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．