Question

已知函数f（x）=

a+x

a-x

（常数a＞0），且f（1）+f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）试研究函数f（x）的单调性，并比较f（t）与2

2t+2

t

(-

3

2

＜t＜

3

2

且t≠0)的大小；
（3）设g（x）=

(2-x)f(x)

-m(x+2)-2，是否存在实数m使得y=g（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）有条件f（1）+f（3）=-2易得a的值．
（2）可利用定义讨论函数的单调性．
（3）实际上是根的存在行问题，可以通过等价转化求解．

解答：解：（1）由f（1）+f（3）=

a+1

a-1

+

a+3

a-3

=-2．
有a（a-2）=0．
又a＞0，所以a=2．
（2）由（1）知函数f（x）=

2+x

2-x

，
其定义域为（-∞，2）∪（2，+∞），
设x₁、x₂∈（-∞，2）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2+x1

2-x1

-

2+x2

2-x2

=

4(x1-x2)

(2-x1)(2-x2)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在区间（-∞，2）上是增函数，同理可得，f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
令h（x）=

2x+2

x

=

2

x

+2，
则函数h（x）在区间（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，
当t∈(-

2

3

，0)时，f（t）＞f(-

2

3

)=

1

2

，
h（t）＜h(-

2

3

)=-1，2^h（t）＜2^-1=

1

2

，
所以f（t）＞2

2t+2

t

．
当t∈(0，

3

2

)时，f（t）＜f(

3

2

)=7，h（t）＞h(

3

2

)=

10

3

，
2^h（t）＞2

10

3

＞2³=8，所以f（t）＜2

2t+2

t

．
综上，当t∈(-

2

3

，0)时，f（t）＞2

2t+2

t

；
当t∈(0，

3

2

)时，f（t）＜2

2t+2

t

．
（3）g（x）=

2+x

-m(x+2)-2，x≠2．
由题意可知，方程

2+x

-m(x+2)-2=0在{x|x≥-2且x≠2}中有实数解，
令

2+x

=t，则t≥0且t≠2，
问题转化为关于t的方程mt²-t+2=0①，
有非负且不等于2的实数根．
若t=0，则①为2=0，显然不成立，
故t≠0，方程①可变形为m=-2(

1

t

)²+

1

t

，
问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，
因为t≥0且t≠2，所以

1

t

＞0且

1

t

≠

1

2

，
所以m=-2(

1

t

)²+

1

t

∈（-∞，0）∪（0，

1

8

]，
所以实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，

1

8

]．

点评：本题主要考查了函数的单调性以及根的存在性问题，比较复杂，但解题方法均为基本方法，要求掌握．