Question

17．设x，y，z是正实数，满足2y+z≥x，则$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x+2y}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由条件，运用不等式的性质可得原式≥$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{4y+z}$=（$\frac{y}{z}$+$\frac{1}{4}$）+$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{y}{z}+\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{4}$，再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：x，y，z是正实数，满足2y+z≥x，
可得$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x+2y}$≥$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{4y+z}$
=（$\frac{y}{z}$+$\frac{1}{4}$）+$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{y}{z}+\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{4}$
≥2$\sqrt{（\frac{y}{z}+\frac{1}{4}）•\frac{\frac{1}{4}}{\frac{y}{z}+\frac{1}{4}}}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
当且仅当x=6y，z=4y时，取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用不等式的性质和基本不等式，考查变形和运算能力，属于中档题．