Question

5．已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式是b_n=$\frac{1}{{（2{{log}_3}{a_n}+1）•（2{{log}_3}{a_n}+3）}}$，b_n前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，两式相减，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3ⁿ．
（2）由log₃a_n=n，b_n=$\frac{1}{{（2{{log}_3}{a_n}+1）•（2{{log}_3}{a_n}+3）}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），利用“裂项求和”即可得出{b_n}前n项和为T_n，即可证明T_n＜$\frac{1}{6}$．

解答 （1）解：当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故数列{a_n}为等比数列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
数列{a_n}的通项公式a_n=3ⁿ；
（2）证明：log₃a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{{（2{{log}_3}{a_n}+1）•（2{{log}_3}{a_n}+3）}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
b_n前n项和为T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）＜$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
∴对于任意的正整数n，总有T_n＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推式的应用及采用“裂项求和”求数列的前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．