Question

11．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1
（1）求a²+2b²的最小值；
（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．

Answer 1

分析 （1）方法一、求得0＜a＜1，化原式=3（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，由二次函数的最值求法，可得最小值；
方法二、运用柯西不等式可得[a²+（$\sqrt{2}$b）²][1²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]≥（a•1+$\sqrt{2}$b•$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，化简即可得到最小值；
（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x²+y²≥2xy，整理即可得证．

解答 解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1-a，
且a＞0，b＞0，可得0＜a＜1，
则a²+2b²=a²+2（1-a）²=3a²-4a+2
=3（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
当a=$\frac{2}{3}$∈（0，1）时，取得最小值$\frac{2}{3}$；
解法二、由柯西不等式可得
（a²+2b²）（1+$\frac{1}{2}$）=[a²+（$\sqrt{2}$b）²][1²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]
≥（a•1+$\sqrt{2}$b•$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（a+b）²=1，
即有a²+2b²≥$\frac{2}{3}$，
当且仅当a=2b=$\frac{2}{3}$，取得最小值$\frac{2}{3}$；
（2）证明：由正实数a，b，x，y满足a+b=1，
可得（ax+by）（ay+bx）=abx²+aby²+a²xy+b²xy
=ab（x²+y²）+（a²+b²）xy
≥2abxy+（a²+b²）xy=xy（a²+b²+2ab）=xy（a+b）²=xy，
则（ax+by）（ay+bx）≥xy．

点评 本题考查最值的求法，注意运用二次函数的最值求法或柯西不等式，考查不等式的证明，注意展开运用基本不等式，本题也可运用柯西不等式证明，考查推理能力，属于中档题．