Question

16．已知棱长为5的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱C₁D₁、AB、CD上一点，D₁E=AF=DG=1，球O为四面体BEFG的外接球，则平面BDD₁B₁截球O所得圆的面积为$\frac{131}{8}$π．

Answer 1

分析 在A₁B₁上取一点H，使得A₁H=1，则棱柱BCGF-B₁C₁EH为长方体，四面体BEFG的外接球即为长方体BCGF-B₁C₁EH的外接球，球心O为BE的中点，过O作OH⊥BG，垂足为K，由等面积可得K到BD的距离，求出球O的半径，即可得出平面BDD₁B₁截球O所得圆的面积．

解答 解：在A₁B₁上取一点H，使得A₁H=1，
则棱柱BCGF-B₁C₁EH为长方体，
四面体BEFG的外接球即为长方体BCGF-B₁C₁EH的外接球，球心O为BE的中点，
过O作OH⊥BG，垂足为K，由等面积可得K到BD的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵球O的半径R=$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}+{5}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{66}}{2}$，
∴平面BDD₁B₁截球O所得圆的面积为S=π（R²-d²）=$\frac{131}{8}$π．
故答案为：$\frac{131}{8}$π．

点评 本题考查圆的面积，考查学生的计算能力，正确构造，求出圆的半径是关键．