Question

已知函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx，(a∈R)
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），再对a分类讨论，二次函数与△的关系即可得出其单调区间；
（II）利用（I）的结论，即对0＜a＜1时解出ax²-2x+a=0实数根，再利用导数与单调性的关系即可得出．

解答：解：（I）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

（x＞0）．
①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
②当a＞0时，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，∴△=4-4a²≤0，
解得a≥1，此时函数f（x）单调递增．
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）；
（2）由（1）可知：①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
②当a≥1时，此时函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
③当0＜a＜1时，由ax²-2x+a=0，解得x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

．
∴函数f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．