Question

3．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d₁，d₂，则$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 运用三角形的面积公式可得S_△ABC=S_△BCD+S_△ACP，即为4=d₁+4d₂，求得$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$=$\frac{1}{4}$（d₁+4d₂）（$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$）
展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值．

解答 解：如右图，可得S_△ABC=S_△BCD+S_△ACP，
$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$d₁•BC+$\frac{1}{2}$d₂•AC，
即为4=d₁+4d₂，
则$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$=$\frac{1}{4}$（d₁+4d₂）（$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{4{d}_{2}}{{d}_{1}}$+$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4{d}_{2}}{{d}_{1}}•\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}}$）=$\frac{1}{4}$×（5+4）=$\frac{9}{4}$．
当且仅当$\frac{4{d}_{2}}{{d}_{1}}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$，即d₁=2d₂=$\frac{4}{3}$，取得最小值$\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意运用等积法，以及乘1法，运用基本不等式求最值时，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．