Question

3．设P，Q分别是圆x²+（y-1）²=3和椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的点，则P，Q两点间的最大距离是$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}-3（sinα+\frac{1}{3}）^{2}}$，可得P，Q两点间的最大距离是d_max+r．

解答 解：圆心C（0，1）到椭圆上的点Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距离d=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}-3（sinα+\frac{1}{3}）^{2}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$sinα=-\frac{1}{3}$时取等号．
∴P，Q两点间的最大距离是d+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．