Question

11．已知平面内动点C到点F（1，0）的距离比到直线$x=-\frac{1}{2}$的距离长$\frac{1}{2}$．
（1）求动点C的轨迹方程E；
（2）已知点A（4，0），过点A的直线l与曲线E交于不同的两点P，Q，证明：以PQ为直径的圆过原点．

Answer 1

分析 （1）把直线x=-$\frac{1}{2}$向右平移$\frac{1}{2}$个单位变为x=-1，此时点P到直线x=-1的距离等于它到点（1，0）的距离，即可得到点P的轨迹方程．
（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解x₁x₂+y₁y₂=0，然后推出结论．

解答 解：（1）因为动点P到点（1，0）的距离比到直线$x=-\frac{1}{2}$的距离长$\frac{1}{2}$，
所以点P到直线x=-1的距离等于它到点（1，0）的距离，
因此点P的轨迹为抛物线，方程为y²=4x．
（2）证明：设过点A的直线l的斜率为：k，
直线PQ的方程为：y=k（x-4），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y可得k²x²-8k²x-4x+16k²=0…①，
则x₁x₂=16，消去x可得：y²-$\frac{4}{k}$y-16=0，
y₁y₂=-16，
可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即OM⊥ON，
所以，以PQ为直径的圆过原点．

点评 本题考查点P的轨迹方程，考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系的综合应用，正确运用抛物线的定义是关键．