Question

11．f（x）=-x²+a（2-a）+b，
（1）若f（x）＞0的解集为（-1，2），求a，b；
（2）对任意的实数a，f（1）＞0恒成立，求b取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知x²-a（2-a）x-b＜0的解集为（-1，2），则-1，2是方程x²-a（2-a）x-b的两根，根据根与系数的关系即可求得a，b的值．
（2）由f（1）＞0，可得b＞a²-2a-1=（a-1）²-2≥-2，即可求得b的取值范围．

解答 解：（1）由题可知x²-a（2-a）x-b＜0的解集为（-1，2），
则-1，2是方程x²-a（2-a）x-b的两根，由韦达定理可知化为-1+2=a（2-a），-1×3=-b，
解得a=1，b=3，
（2）∵f（1）=1+a（2-a）+b＞0，
∴b＞a²-2a-1=（a-1）²-2≥-2，
∴b＞-2，

点评 掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系是正确求得一元二次不等式的解集的关键．