Question

3．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．
①求A；
②若b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{b+c}{sinB+sinC}$的值．

Answer 1

分析 由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，表示出函数的解析式，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，后两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$中，即可求出函数的最小正周期，再由余弦函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得出函数的递减区间；
（2）①由f（A）=2，将x=A代入得到cos（2A-$\frac{π}{3}$）的值，由A为三角形的内角，得到A的范围，进而确定出2A-$\frac{π}{3}$的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
②由三角形的面积公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性质即可得解．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
（1）∵ω=2，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）①∵f（A）=2，
∴1+2cos（2A-$\frac{π}{3}$）=2，
∴cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，
则A=$\frac{π}{3}$．
②∵b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=2，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，属于中档题．