Question

3．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）求经过5局比赛，比赛结束的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记A_i表示事件：第i局甲获胜，i=3，4，5，B_j表示事件：第j局乙获胜，j=3，4．记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅，由于各局比赛结果相互独立，由此能求出甲获得这次比赛胜利的概率．
（Ⅱ）经过5局比赛，甲获胜的概率为P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）；经过5局比赛，乙获胜的概率为P（A₃•B₄•B₅）+P（B₃•A₄•B₅），由此能求出经过5局比赛，比赛结束的概率．

解答 解：（Ⅰ）记A_i表示事件：第i局甲获胜，i=3，4，5，B_j表示事件：第j局乙获胜，j=3，4．
记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而B=A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（B）=P（A₃•A₄）+P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）
=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（A₄）P（A₅）+P（A₃）P（B₄）P（A₅）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．
（Ⅱ）经过5局比赛，甲获胜的概率为
P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288；
经过5局比赛，乙获胜的概率为
P（A₃•B₄•B₅）+P（B₃•A₄•B₅）=0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4=0.192．
所以经过5局比赛，比赛结束的概率为0.288+0.192=0.48．

点评 本题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．