Question

3．递增数列{a_n}的前n项和为S_n，若（2λ+1）S_n=λa_n+2，则实数λ的取值范围是$（-1，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 利用递推关系可得：a₁=$\frac{2}{λ+1}$（λ≠-1），$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{-λ}{λ+1}$．再利用单调性即可得出．

解答 解：∵（2λ+1）S_n=λa_n+2，∴n≥2时，（2λ+1）S_n-1=λa_n-1+2，相减可得：
n=1时，（2λ+1）a₁=λa₁+2，解得a₁=$\frac{2}{λ+1}$（λ≠-1）．
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{-λ}{λ+1}$．
①若a₁=$\frac{2}{λ+1}$＞0，则$\frac{-λ}{λ+1}$＞1，解得$-1＜λ＜\frac{1}{2}$．
②若a₁=$\frac{2}{λ+1}$＜0，则0＜$\frac{-λ}{λ+1}$＜1，解得λ∈∅．
综上可得：λ∈$（-1，\frac{1}{2}）$．
故答案为：$（-1，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．