Question

7．求实数λ的取值范围，使不等式|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a，b恒成立．

Answer 1

分析 根据题意，将|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1转化为分式，可得|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1?（a²λ²-1）（b²-1）＞0，由于|b|＜1，则b²-1＞0，即只需a²λ²-1＞0即可，分a=0与a≠0两种情况讨论，可得答案．

解答 解：∵|$\frac{1-abλ}{aλ-b}$|＞1
?|1-abλ|²-|aλ-b|²
=（a²λ²-1）（b²-1）＞0，
∵b²＜1，
∴a²λ²-1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立．
当a=0时，a²λ²-1＜0成立；
当a≠0时，要使λ²＜$\frac{1}{{a}^{2}}$对于任意满足|a|＜1的a恒成立，
而$\frac{1}{{a}^{2}}$＞1，
∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．

点评 本题考查不等式性质的基本运用，注意结合题意，进行分式、整式的转化，一般利要积的符号法则进行分析．