Question

5．已知函数f（x）=lnx-a（x+1）（a∈R）．
（1）若函数h（x）=$\frac{f（x）+a（x+2）}{x}$的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e ²]上有公共点，求实数a的取值范围；
（2）若a＞1，且a∈N*，曲线y=f （x） 在点 （1，f（ 1）） 处的切线l与x轴，y轴的交点坐标为A（x₀，0 ），B（ 0，y₀），当$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$取得最小值时，求切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$\frac{lnx+a}{x}=1$在x∈（0，e²]上有解，即a=x-lnx在x∈（0，e²]上有解；
（2）求出A，B的坐标，得出$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$的表达式，即可得出$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$的取得最小值时，切线l的方程．

解答 解：（1）问题转化为$\frac{lnx+a}{x}=1$在x∈（0，e²]上有解，
即a=x-lnx在x∈（0，e²]上有解
令φ（x）=x-lnx，x∈（0，e²]${φ^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，∴φ（x）在（0，1）上单减，在（1，e²）上单增，
∴φ（x）_min=φ（1）=1，x→0时，φ（x）→+∞，当x∈（0，e²]时，φ（x）的值域为[1，+∞），
∴实数a的取值范围是[1，+∞）       …（6分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}-a$，切线斜率k=f'（1）=1-a，切点为（1，-2a），
所以切线l的方程为y+2a=（1-a）（x-1），
分别令 y=0，x=0，得切线与x轴，y轴的交点坐标为A（$\frac{a+1}{1-a}$，0），B（0，-1-a），
∴${x_0}=\frac{a+1}{1-a}，{y_0}=-1-a$，
∴$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}=\frac{{{{（{a-1}）}^2}+1}}{{{{（{a+1}）}^2}}}=\frac{{{{（{a+1}）}^2}-4（{a+1}）+5}}{{{{（{a+1}）}^2}}}=\frac{5}{{{{（{a+1}）}^2}}}-\frac{4}{a+1}+1$，
当$\frac{1}{a+1}=-\frac{-4}{2×5}=\frac{2}{5}$，
即$a=\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}$取得最小值，但a＞1且a∈N^*，所以当a=2时，$\frac{1}{x_0^2}+\frac{1}{y_0^2}$取得最小值．
此时，切线l的方程为y+4=（1-2）（x-1），即x+y+3=0．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．