Question

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞

f(x)

x

．则（　　）

• A、f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e²）
• B、f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f（e²）
• C、f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e²）
• D、f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f（e²）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：先定义新函数F（x）=

f(x)

lnx

，对F（x）求导找出单调区间，再判断F（2），F（e），F（e²）的大小．

解答： 解：由题意得：x∈（0，+∞），
令函数F（x）=

f(x)

lnx

，
∴F′（x）=

f′(x)lnx-f(x)• 1 x

ln2x

又f′（x）lnx＞

f(x)

x

，
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴F（e）＞F（2），即：

f(e)

lne

＞

f(2)

ln2

，∴f（2）＜f（e）ln2，
F（e）＜F（e²），即：

f(e)

lne

＜

f(e2)

lne2

，∴2f（2）＜f（e²）；
故答案为：B．

点评：本题考察了通过求导的方式求函数的单调区间，在单调区间上判断函数值的大小，本题的关键是引进新函数F（x）．