Question

过点（2，-1）引直线与抛物线y=x²只有一个公共点，这样的直线共有

 

条．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先考虑直线斜率不存在时看是不是和抛物线只有一个交点，在看直线斜率存在时，利用点斜式设出直线方程与抛物线联立，转化成一元二次函数根的问题，利用△=0，求得k的解得个数，最后综合得出答案．

解答： 解：当直线斜率不存在时，直线方程为x=2，与抛物线方程联立得，

x=2 y=x2

，解得x=2，y=4，有一组解，即此时直线与抛物线有一交点．
当直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2）-1，
代入抛物线方程整理得x²-kx+2k+1=0，
要使抛物线与直线有一个交点，则方程有且只有一个根，
即△=k²-8k-4=0，解得k=4±2

5

，
∴这样的直线有2条
综合可知直线与抛物线只有一个交点的情况有3种，
故答案为：3

点评：本题主要考查了抛物线的基本性质，抛物线与直线的关系．在解决抛物线与直线关系时，可让两方程联立，转化成一元二次方程的问题．