Question

5．在△ABC中，D为BC的中点，∠BAD+∠C≥90°．
（Ⅰ）求证：sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）若cos∠BAD=-$\frac{1}{4}$，AB=2，AD=3，求AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∠BAD=α，∠CAD=β，根据正弦函数的图象和性质得到sinα≥cosC，sinβ≤cosB，再根据三角形面积公式可得csinα=b•sinβ，即可得到ccosC≤bcosB
再根据正弦定理和二倍角公式即可求出，
（Ⅱ）根据余弦定理和夹角公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）证明：令∠BAD=α，∠CAD=β，
∵∠BAD+∠C≥90，
∴α≥90°-C，β≤90°-B，
∴sinα≥sin（90°-C）=cosC，sinβ≤sin（90°-B）=cosB，
∵D为BC的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$c•ADsinα=$\frac{1}{2}$b•ADsinβ，
∴csinα=b•sinβ，
∴ccosC≤bcosB
∴sinCcosC≤sinBcosB
∴sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AD•AB•cos∠BAD=4+9-12×（-$\frac{1}{4}$）=16，
∴BD=4，
∴cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{7}{8}$，
在△ADC中，CD=BD=4，cos∠ADC=-cos∠ADB=-$\frac{7}{8}$，
∴AC²=9+16-2×3×4×（-$\frac{7}{8}$）=46，
∴AC=$\sqrt{46}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和和正弦函数的图象和性质以及三角形的面积公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．