Question

【题目】设为实数，函数．

（1）当时，求在区间上的最大值；

（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；

（3）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）0（2）t（a）（3）12﹣8

【解析】

（1）a＝1时，函数f（x）＝（x﹣1）2﹣1，根据二次函数的性质即可求出它的值域；

（2）化简g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，讨论确定函数的单调性，求出最大值，得出t（a）的解析式；

（3）分别求出各段函数的最小值（或下确界），比较各个最小值，其中的最小值，即为求t（a）的最小值．

（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，

∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，

在区间上的最大值为0；

（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，

①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，

故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；

②当0＜a＜1时，

g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，

而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，

g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），

故当0＜a＜22时，

t（a）＝g（2）＝4﹣4a，

当22≤a＜1时，

t（a）＝g（a）＝a2，

③当1≤a＜2时，

g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，

故t（a）＝g（a）＝a2，

④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，

t（a）＝g（2）＝4a﹣4，

故t（a）；

（3）由（2）知，

当a＜22时，t（a）＝4﹣2a是单调减函数，，无最小值；

当时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8；

当时，t（a）＝4a﹣4是单调增函数，最小值为t（2）＝4；

比较得t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8．