Question

【题目】已知方向向量为v=（1， ）的直线l过点（0，﹣2 ）和椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 = ．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）解法一：直线l：y= x﹣2 ，①
过原点垂直l的直线方程为y=﹣ x，②
解①②得x= ．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴ =2× =3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为 + =1③
解法二：直线l：y= x﹣3 ．
设原点关于直线l对称点为（p，q），则 解得p=3．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴ =3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为 + =1③
（II）解：设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
|MN|= = = ，
点O到直线MN的距离d= ．
∵ = cot∠MON，即| || |cos∠MON= ≠0，
∴| || |sin∠MON=4 ，∴S△OMN= ．∴|MN|d= ，
即4 |k| = （3k2+1），
整理得k2= ，∴k=± ．
当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN= ．
故直线m的方程为y= x+ ，或y=﹣ x﹣ ，或x=﹣2．
经检验上述直线均满足 ≠0．
所以所求直线方程为y= x+ ，或y=﹣ x﹣ ，或x=﹣2．


【解析】（I）解法一：直线l：y= x﹣2 ，过原点垂直l的直线方程为y=﹣ x，这两个方程联立可知x= ．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知 =3．由此可以求出椭圆C的方程．
解法二：直线l：y= x﹣3 ．设原点关于直线l对称点为（p，q），则 解得p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知 =3．由此能够推出椭圆C的方程．（II）解：设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入 + =1，整理得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，再由根与系数的关系和点到直线 的距离求解．