Question

已知函数f（x）=asinx-x（a∈R），则下列命题中错误的是（　　）

A．若-1≤a≤1，则f（x）在R上单调递减

B．若f（x）在R上单调递减，则-1≤a≤1

C．若a=1，则f（x）在R上只有1个零点

D．若f（x）在R上只有1个零点，则a=1

Answer 1

分析：根据f（x）在R上单调递减?f^′（x）＜0，求a的取值范围，来判断A、B的正确性；
利用sinx≤x，来判断f（x）有一个零点的条件，判断C是否正确；
利用函数图象有交点的条件，判定D是否正确．

解答：解：∵f^′（x）=acosx-1，当-1≤a≤1，f^′（x）＜0?f（x）在R上单调递减，∴A正确；
若f（x）在R上单调递减：f^′（x）=acosx-1≤0恒成立，∴-1≤a≤1，∴B正确；
对C，∵sinx≤x当且仅当x=0取“=”，∴a=1，则f（x）在R上只有1个零点，C正确；
∵当0＜a＜1时f（x）在R上也只有1个零点0，∴D错误．
故选D

点评：本题借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定与导数的应用．