Question

19．已知F₁、F₂是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的左、右焦点，过点F₁且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF₂N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠MF₂F₁=45°，从而|MF₁|=|F₁F₂|，求出关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．

解答 解：∵△MF₂N是等腰直角三角形，∴∠MF₂N为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线MN垂直x轴，
∴∠MF₂F₁=45°，
∴|MF₁|=|F₁F₂|，∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0），
令x=-c，则有y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|MF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，∴c²-2ac-a²=0
∴e²-2e-1=0
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率，属于中档题．