Question

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA+1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
（1）求角A；           
（2）若$\frac{1+sin2B}{cos{\;}^{2}B-sin{\;}^{2}B}$=-3，求tanC．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理可得：$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．
（2）由题知$\frac{1+sin2B}{cos{\;}^{2}B-sin{\;}^{2}B}$=-3，利用倍角公式化为$\frac{cosB+sinB}{cosB-sinB}$=-3，因此$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=-3，解得tanB．再利用tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B），展开代入即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
2（sinA•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosA•$\frac{1}{2}$）=1，sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$．∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由题知$\frac{1+sin2B}{cos{\;}^{2}B-sin{\;}^{2}B}$=-3，
∴$\frac{（cosB+sinB）^{2}}{（cosB+sinB）（cosB-sinB）}$=-3，
∴$\frac{cosB+sinB}{cosB-sinB}$=-3，
∴$\frac{1+tanB}{1-tanB}$=-3，∴tanB=2．
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{8+5\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．