Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

1

2

，椭圆C的右焦点关于直线y=x+1的对称点的纵坐标为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线AB交椭圆C于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求证：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值，并求出这个值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线y=x+1的对称点M（x₀，2），由已知得

c a = 1 2 2-0 x0-c =-1 2+0 2 = c+x0 2 +1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得x₁x₂+y₁y₂=0，设AB所在的直线方程为：y=kx+m，代入椭圆方程3x²+4y²=12，整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质能证明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值

7

12

．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

1

2

，
椭圆C的右焦点关于直线y=x+1的对称点的纵坐标为2，
设椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线y=x+1的对称点M（x₀，2），
∴

c a = 1 2 2-0 x0-c =-1 2+0 2 = c+x0 2 +1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，c=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
设AB所在的直线方程为：y=kx+m，代入椭圆方程3x²+4y²=12，
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵点A、B在椭圆上，
由韦达定理，得x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
由x₁x₂+y₁y₂=0，得
x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
即

4m2-12

4k2+3

+

k2(4m2-12)

4k2+3

-

8k2m2

4k2+3

+m²=0
化简得：7m²=12（1+k²）

m2

1+k2

=

12

7

，即

|m|

1+k2

=

2 3

7

，
点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 3

7

为定值，
Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，S_△AOB=

OA×OB

2

=

AB×d

2

，
∴：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

|AB|2

(|AB|•d)2

=

1

d2

=

7

12

．
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值

7

12

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值的证明，解题时要注意韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质、函数与方程思想的合理运用．