Question

7．已知等差数列{a_n}的首项为a₁（a₁≠0），公差为d，且不等式a₁x²-3x+2＜0的解集为（1，d）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n-a_n=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得1，d为方程a₁x²-3x+2=0的两根，运用韦达定理可得首项和公差，运用等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）求出b_n=a_n+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=2n-1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：分组求和与裂项相消求和，结合等差数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）不等式a₁x²-3x+2＜0的解集为（1，d），
可得1，d为方程a₁x²-3x+2=0的两根，
即有1+d=$\frac{3}{{a}_{1}}$，d=$\frac{2}{{a}_{1}}$，
解得a₁=1，d=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）b_n-a_n=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即为b_n=a_n+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=2n-1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得前n项和S_n=（1+3+…+2n-1）+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+1-$\frac{1}{n+1}$=n²+$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用韦达定理求得首项和公差，考查数列的求和方法：分组求和与裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．