Question

18．已知$\overrightarrow m$=（cosα-$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，-1），$\overrightarrow n$=（sinα，1），$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$为共线向量，且α∈[-$\frac{π}{2}$，0]．
（1）求sinα+cosα的值；        
（2）求$\frac{sin2α}{sinα-cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由两向量的坐标，以及两向量平行时满足的关系列出等式，整理即可求出sinα+cosα的值；
（2）将sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα-cosα的值，原式分子利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cosα-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinα，1），且$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$为共线向量，
∴cosα-$\frac{\sqrt{2}}{3}$=-sinα，
则sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）把sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$，
即2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
∵α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴sinα＜0，cosα＞0，即sinα-cosα＜0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，即sinα-cosα=-$\frac{4}{3}$，
则原式=$\frac{2sinαcosα}{sinα-cosα}$=$\frac{7}{12}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，熟练掌握基本关系是解本题的关键．