Question

1．已知函数$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}$．
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性并证明．

Answer 1

分析 （1）依题意，由对数函数的真数大于0，即$\frac{x+1}{x-1}$＞0，即可求得该函数的定义域；
（2）利用奇偶函数的定义：f（-x）=f（x）还是f（-x）=-f（x）即可判断该函数的奇偶性．

解答 解：（1）∵$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}$，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞0，
解得：x＜-1或x＞1，
∴该函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）∵函数$f（x）=lg\frac{x+1}{x-1}$的定义域关于原点对称，且$f（-x）=lg\frac{-x+1}{-x-1}=lg\frac{x-1}{x+1}=-f（x）$，
∴该函数为奇函数．

点评 本题考查对数函数的图象与性质，着重考查函数的定义域与函数的奇偶性的应用，属于基础题．