Question

16．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4$\sqrt{5}$．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根据面面垂直的性质得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD；
（2）过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 （1）证明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4$\sqrt{5}$，BD=8，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥面PAD，
又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
（2）解：过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P-ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO=2$\sqrt{3}$．
过D作DN⊥AB，则DN=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{5}$）×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=24，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×24×2\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．