Question

10．已知：P为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（a＞0）上一点，Q为圆O：x²+y²=4上一点，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＞0），$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0．
（1）求a的值；
（2）若λ=$\frac{5}{4}$时，求四边形PF₁F₂Q的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$\overrightarrow{{F}_{1}P}$∥$\overrightarrow{OQ}$，则OM为△F₁PF₂的中位线，由$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，丨PM丨=丨PF₂丨=丨QM丨，丨QM丨=x，丨OM丨=2-x，则丨PF₁丨=2丨OM丨=2（2-x），丨PF₂丨=2丨QM丨=2x，则丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，即可求得a的值；
（2）由（1）求得椭圆方程：由丨OQ丨=2，则求得丨PF₁丨，丨PF₂丨，可得∠PF₂F₁=$\frac{π}{2}$，求得直线OQ的斜率，求得Q点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△PQF₂的面积，△PF₂F₁的面积，即可求得四边形PF₁F₂Q的面积．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$∥$\overrightarrow{OQ}$，连接PF₂交OQ于M点，
∴OM为△F₁PF₂的中位线，
∴M为PF₂的中点，
由$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，
则PQ⊥QF₂，
∴丨PM丨=丨PF₂丨=丨QM丨，
由丨OQ丨=2，设丨QM丨=x，丨OM丨=2-x，
∴丨PF₁丨=2丨OM丨=2（2-x），丨PF₂丨=2丨QM丨=2x，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，
则a=2，
∴a的值为2；
（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{OQ}$，则丨PF₁丨=$\frac{5}{2}$，丨PF₂丨=$\frac{3}{2}$，丨F₁F₂丨=2，
则∠PF₂F₁=$\frac{π}{2}$，
tan∠PF₁F₂=$\frac{3}{4}$，则直线OQ的方程：y=$\frac{3}{4}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
则丨QF₂丨=$\sqrt{（\frac{8}{5}-1）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，则丨QF₂丨=$\sqrt{丨P{F}_{2}{丨}^{2}-丨PQ{丨}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
△PQF₂的面积S₁=$\frac{1}{2}$×丨QF₂丨×丨QF₂丨=$\frac{9}{20}$，
∴△PF₂F₁的面积S₂=$\frac{1}{2}$×丨F₁F₂丨×丨PF₂丨=$\frac{3}{2}$，
∴四边形PF₁F₂Q的面积S=S₁+S₂=$\frac{9}{20}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{20}$，
四边形PF₁F₂Q的面积为$\frac{39}{20}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及求法，向量的共线定理，考查椭圆定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．