Question

5．已知定点A（a，0）和定直线x=b（0＜a＜b），动点P，Q分别在y轴和直线x=b上移动，且满足AP⊥AQ，侧△APQ的面积取得最小值时的点P的坐标为（0，a）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出P、Q的坐标，列出△APQ的面积，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：如图，

A（a，0），
设P（0，m），Q（b，n），则$\overrightarrow{AP}=（-a，m）$，$\overrightarrow{AQ}=（b-a，n）$．
由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，得-a（b-a）+mn=0，即mn=ab-a²．
${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}[（m+n）b-am-（b-a）n]$=$\frac{1}{2}[（b-a）m+an]$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{（ab-{a}^{2}）mn}$
=$\sqrt{{a}^{2}（b-a）^{2}}=a（b-a）$．
当且仅当（b-a）m=an，即m=a时上式等号成立．
∴P（0，a）．
故答案为：（0，a）．

点评 本题考查函数最值的求法，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查向量垂直与数量积间关系的应用，是中档题．