Question

已知曲线C上动点P(x，y)到定点F₁(，0)与定直线l₁∶x＝的距离之比为常数.

(1) 求曲线C的轨迹方程；

(2) 以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)²＋y²＝r²(r>0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求·的最小值，并求此时圆T的方程．

Answer 1

解：(1) 过点P作直线的垂线，垂足为D.

＝，

所以该曲线的方程为＋y²＝1.

(2) 点M与点N关于x轴对称，设M(x₁，y₁)，N(x₁，－y₁)，不妨设y₁>0.由于点M在椭圆C上，所以y＝1－.由已知T(－2，0)，则＝(x₁＋2，y₁)，＝(x₁＋2，－y₁)，∴  ·＝(x₁＋2，y₁)·(x₁＋2，－y₁)＝(x₁＋2)²－y＝(x₁＋2)²－＝x＋4x₁＋3＝·－.由于－2<x₁<2，故当x₁＝－时，·取得最小值为－.计算得，y₁＝，故M.

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r²＝.

故圆T的方程为(x＋2)²＋y²＝.