Question

如图，椭圆C₀：＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C₁：x²＋y²＝t，b<t₁<a.点A₁、A₂分别为C₀的左、右顶点，C₁与C₀相交于A、B、C、D四点．

(1) 求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；

(2) 设动圆C₂：x²＋y²＝t与C₀相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t₂<a，t₁≠t₂.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．

Answer 1

 (1) 解：设A(x₁，y₁)，B(x₁，－y₁)，又知A₁(－a，0)，A₂(a，0)，

则直线A₁A的方程为y＝ (x＋a)，①

直线A₂B的方程为y＝ (x－a)．②

由①②得y²＝ (x²－a²)．③

由点A(x₁，y₁)在椭圆C₀上，故＋＝1.

从而y＝，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．

(2) 证明：设A′(x₂，y₂)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x₁||y₁|＝4|x₂||y₂|，故xy＝xy.因为点A，A′均在椭圆上，所以.由t₁≠t₂，知x₁≠x₂，所以x＋x＝a²，从而y＋y＝b²，因此t＋t＝a²＋b²为定值．