Question

13．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²=c²+ab，c=1．
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{1}{2}$b+a的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式变形后，得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把变形后的关系式代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数．
（2）由已知利用正弦定理可得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sin（A+φ），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，利用正弦函数的性质即可得解最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a²+b²=ab+c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0°，180°），
∴∠C=60°…5分
（2）∵c=1，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，
∴$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA+2sinA）=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sin（A+φ），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴当sin（A+φ）=1时，$\frac{1}{2}$b+a取最大值$\frac{\sqrt{21}}{3}$…12分

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理，余弦定理三角函数恒等变换的应用以及三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了特殊角的三角函数值化简求值，考查了考查了整体代入的数学思想，属于中档题．