Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y+1=0，求：
（1）与圆C同心，且半径为

2010

的圆的方程；
（2）与圆C同心，且被直线l：2x-y+1=0截得的弦长为2

5

的圆的方程；
（3）过点P（3，1）与圆C相切的直线的方程．

Answer 1

考点：圆的一般方程,直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）圆的方程化为标准方程，可得与圆C同心，且半径为

2010

的圆的方程；
（2）求出圆心为（1，-2）到直线l：2x-y+1=0的距离，利用与圆C同心，且被直线l：2x-y+1=0截得的弦长为2

5

，求出圆的半径，即可求出圆的方程；
（3）分类讨论，即可过点P（3，1）与圆C相切的直线的方程．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-2x+4y+1=0，可化为（x-1）²+（y+2）²=4，圆心为（1，-2），半径为2，
则与圆C同心，且半径为

2010

的圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=2010；…4分
（2）圆心为（1，-2）到直线l：2x-y+1=0的距离为

2+2+1

5

=

5

，
∵圆被直线l：2x-y+1=0截得的弦长为2

5

，
∴圆的半径为

10

，
∴与圆C同心，且被直线l：2x-y+1=0截得的弦长为2

5

的圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=10；…9分
（3）解：斜率不存在时，x=3满足题意；
斜率存在时，设方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
∴

|k+2-3k+1|

k2+1

=2，
∴k=

5

12

∴直线的方程为5x-12y-3=0，
故答案为：x=3或5x-12y-3=0．…14分．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题型．