Question

11．如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为300m．

Answer 1

分析 在等腰直角△ABC中得出AC=200$\sqrt{2}$，在△AMC中使用正弦定理求出MC，解Rt△MNC得出MN．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=∠DAC=45°，∠ABC=90°，AB=200，
∴AC=200$\sqrt{2}$，
∵∠MCN=60°，∴∠ACM=180°-∠MCN-∠ACB=75°，
∵∠MAC=15°+45°=60°，∴∠AMC=180°-∠MAC-∠ACM=45°．
在△MAC中，由正弦定理得$\frac{MC}{sin∠MAC}=\frac{AC}{sin∠AMC}$，即$\frac{MC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{200\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
解得MC=200$\sqrt{3}$．
∵sin∠MCN=$\frac{MN}{MC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$MC=300．
故答案为：300．

点评 本题考查了正弦定理，解三角形的实际应用，属于中档题．