Question

3．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；
（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）
（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）

Answer 1

分析 （1）设BC=x，则AB=2-x，AC=2.4-x，A=120°，利用余弦定理列方程解出x；
（2）利用（1）的结论得出三角形ABC的三边长，使用余弦定理求出cosB，得到B的大小．

解答 解；（1）设BC=x，则AB=2-x，AC=2-x+0.4=2.4-x，
由题意得A=120°，
在△ABC中，由余弦定理得：cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB×AC}$=$\frac{（2-x）^{2}+（2.4-x）^{2}-{x}^{2}}{2×（2-x）×（2.4-x）}$=-$\frac{1}{2}$．
解得x=1.4．
∴BC=1.4m．
（2）由（1）知AB=0.6，AC=1，BC=1.4．
∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{11}{14}$．
∴B=arccos$\frac{11}{14}$．

点评 本题考查了余弦定理，解三角形的实际应用，属于基础题．