Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=

lnx

x

，且f（e）=

1

2e

，则f（x）的单调性情况为（　　）

• A、先增后减
• B、单调递增
• C、单调递减
• D、先减后增

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：由xf′（x）+2f（x）=

lnx

x

，得：x²f′（x）+2xf（x）=lnx，即[x²f（x）]′=lnx，故x²f（x）=xlnx-x+c，由f（e）=

1

2e

，求出c值，进而利用导数法分析出f′（x）≤0恒成立，进而可得函数的单调性．

解答： 解：∵xf′（x）+2f（x）=

lnx

x

，
∴x²f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x²f（x）]′=lnx，
∴x²f（x）=xlnx-x+c，
将x=e代入可得：
e²f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=

1

2e

，
∴c=

e

2

∴x²f（x）=xlnx-x+

e

2

，
∴f（x）=

2xlnx-2x+e

2x2

∴f′（x）=

4x2lnx-8x2lnx+8x3-4ex

4x4

=

-xlnx+2x-e

x3

，
令g（x）=-xlnx+2x-e，
则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是减函数．
故选：C

点评：本题考查的知识点是导数的运算，导数在求函数最值时的应用，是导数的综合应用，难度大，运算量大，属于难题．