Question

【题目】设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）．

（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；

（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）g（x）=x （2）存在，a=c=，b=．

【解析】

（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；

（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．

（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），

可得a-b+c=0，又a=1，b=2，

则f（x）=x2+2x+1，

由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；

（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，

且f（x）为函数的一个承托函数．

即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，

令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，

即1-b=a+c，

又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0，

即为（a+c）2-4ac≤0，即有a=c；

又（a-）x2+bx+c-≤0恒成立，

可得a＜，且b2-4（a-）（c-）≤0，

即有（1-2a）2-4（a-）2≤0恒成立．

故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1-2a，

可取a=c=，b=．满足题意．