Question

（本题满分１４分）已知函数，,．

（1）若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若，设函数在区间上的最大值为，最小值为,记,求函数在区间上的最小值．

Answer 1

（1）

（2）

【解析】

试题解析：（1），x∈[0，2] 1分

由f′（x）＞0解得1＜x≤2，由f′（x）＜0解得0≤x＜1 2分

∴f（x）单调递增区间为（1, 2]，单调递减区间为[0,1），

即当x＝1时， f（x）取极小值，也是最小值． 3 分

要使函数f（x）在区间[0, 2]内恰有两个零点，则有

，解得或，

∴a的取值范围是 5分

（2）若a＝－1，，∴，

易知f（x）在[-3， -1]上单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，2]单调递增． 6 分

①当t∈[-3，-2]时，t＋3∈[0,1]，-1∈[t,t＋3]，

∴f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t＋3]单调递减，

因此f（x）在区间[t,t＋3]上的最大值为M（t）＝f（－1）＝－, 7 分

而最小值m（t）为 f（t）与 f（t＋3）的较小者．

由 f（t＋3）－f（t）＝3（t＋1）（t＋2），当t∈[-3，-2]，f（t＋3）－f（t）≥0，

∴f（t＋3）≥f（t），故m（t）＝f（t）， 8 分

所以，

又∵f（t）在[-3,-2]上单调递增，∴f（t）≤f（－2）＝－ 9分

所以F（t）在区间[-3,-2]上的最小值为 10 分

②当t∈[-2，-1]时，t＋3∈[1, 2]，且-1,1∈[t，t＋3]．

下面比较 f（-1）， f（1）， f（t）， f（t＋3）的大小．

由 f（x）在[-2，-1]，[1， 2]上单调递增，

有f（－2）≤f（t）≤f（－1），f（1）≤f（t＋3）≤f（2）． 11 分

又由，

从而， 12 分

∴ 13 分

综上，函数F（t）在区间[-3,-1]上的最小值为． 14分

考点： 考查了利用导数求函数的单调区间，极值，最值得应用．