Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
（1）函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心坐标为

 

；
（2）计算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）二阶求导并令导数为0，从而可得x=

1

2

，则f（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

8

+

3

2

-

5

12

=1，从而得到对称中心坐标；
（2）由函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心坐标为（

1

2

，1）可得f（x）+f（1-x）=2，从而化f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=（f（

1

2015

）+f（

2014

2015

））+（f（

2

2015

）+f（

2013

2015

））+…+（f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

））；从而求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
∴f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
令2x-1=0，解得，x=

1

2

，
f（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

8

+

3

2

-

5

12

=1，
故函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心坐标为（

1

2

，1）；
（2）∵函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心坐标为（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）
=（f（

1

2015

）+f（

2014

2015

））+（f（

2

2015

）+f（

2013

2015

））+…+（f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

））
=2×1007=2014．
故答案为：（

1

2

，1），2014．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于难题．