Question

7．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R
（1）函数h（x）=f（x+t）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，且t∈（0，π），求t的值；
（2）x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，恒有|f（x）-m|＜3成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，h（x）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），由题意可得t=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$（k∈Z），结合t∈（0，π），即可求得t的值．
（2）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，可得2x-$\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，得f（x）∈[1，2]，解不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜1}\\{m+3＞2}\end{array}\right.$，解得m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x-1
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），
又已知点（-$\frac{π}{6}$，0）为h（x）的图象的一个对称中心，
∴t=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$（k∈Z），…（4分）
而t∈（0，π），
∴t=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{6}$．…6分
（2）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
f（x）∈[1，2]，由|f（x）-m|＜3⇒m-3＜f（x）＜m+3． …10分
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜1}\\{m+3＞2}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜4，（11分）
即m的取值范围是（-1，4）．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦函数的图象和性质，不等式的解法，属于中档题．