Question

（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中，EF//AC，且平面ABCD.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角为45°，求CE的长.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；证明线线垂直常通过线面垂直；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（Ⅰ）证明：在中,，

所以,由勾股定理知所以 . 2分

又因为 ⊥平面，平面，所以 ． 4分

又因为 所以 ⊥平面，又平面

所以 . 6分

（Ⅱ）因为⊥平面，又由（Ⅰ）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

设，则,,，,，. 8分

设平面的法向量为，则 所以，令.所以. 9分

又平面的法向量 10分

所以， 解得 . 11分

所以的长为. 12分

考点：线线垂直及求线段的长