Question

已知函数f（x）=Asin（4x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在时取得最大值2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若，，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数表达得ω=4，结合三角函数的周期公式即可得出f（x）的最小正周期的值；
（2）由函数f（x）在时取得最大值2，得+φ=+2kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π取k=0得，从而得到f（x）的解析式；
（3）由（2）求出的解析式代入，结合诱导公式化简得，由同角三角函数的关系结合算出sinα=-，用二倍角的三角公式算出sin2α、cos2α之值，代入的展开式，即可得到的值．
解答：解：（1）∵函数表达式为：f（x）=Asin（4x+φ），
∴ω=4，可得f（x）的最小正周期为（2分）
（2）∵f（x）在时取得最大值2，
∴A=2，且时4x+φ=+2kπ（k∈Z），即+φ=+2kπ（k∈Z），（4分）
∵0＜φ＜π，∴取k=0，得（5分）
∴f（x）的解析式是；（6分）
（3）由（2）得，
即，可得，（7分）
∵，∴，（8分）
∴，（9分）
，（10分）
∴=．（12分）
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）中的部分参数，根据函数的最大值及其相应的x值求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数的值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．