Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在同一周期内有最高点（

π

12

，2）和最低点（

7π

12

，-2）．
（1）求f（x）的解析式及f（x）=

2

的解集；
（2）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）后得到g（x）的函数图象，写出g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，即可得到函数的解析式，由f（x）=

2

可得 sin（2x+

π

3

）=

2

2

，故 2x+

π

3

=2kπ+

π

4

，或2x+

π

3

=2kπ+

π

4

，k∈z，由此求得f（x）=

2

的解集．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，求出g（x）的解析式．

解答：解：（1）由题意知：A=2，

1

2

 T=

π

ω

=

7π

12

-

π

12

，解得ω=2．再由五点法作图可得 2×

π

12

+φ=

π

2

，解得 φ=

π

3

．
故得所求函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
由f（x）=

2

可得 sin（2x+

π

3

）=

2

2

，
∴2x+

π

3

=2kπ+

π

4

，或  2x+

π

3

=2kπ+

π

4

，k∈z．
解得 x=k π-

π

24

，或 x=kπ+

5π

24

，
故f（x）=

2

的解集为 {x|x=k π-

π

24

，或 x=kπ+

5π

24

}，k∈z．
（2）把f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

个单位得到y=2sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=2sin2x 的图象．
再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）后得到 y=2sinx 的图象，
∴g（x）=2sinx．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．